கணித மேதை இராமானுஜர் 125வது பிறந்த நாள்

கணித மேதை இராமானுஜர் அவர்களின் 125வது பிறந்த நாள் !!..வெங்காத்தில் பகிரப்பட்ட ராமானுஜரின் வரலாறு முழுத்தொகுப்பாக கீழே...

உலகை பெரும் வியப்பில் ஆழ்த்திய ஒப்பற்ற பெரும் கணிதமேதை இவர் . 1914 முதல் 1918 வரை உள்ள சில வருடங்களில் 3000 இற்கும் அதிகமான புதிய கணிதத் தேற்றங்களைக் கண்டு பிடித்தவர் இங்கிலாந்தின் F.R.S { Fellow of Royal Society }விருதையும் இங்கிலாந்து Trinity கல்லூரியின் Fellow of Trinity College விருதையும் ஒருங்கே பெற்ற முதல் இந்தியன் தமிழ்நாட்டில் பிறந்த ஒரு தமிழரான இவரை நம்மில் எத்தனை பேருக்குத் தெரியும் ? இவரது வாழ்க்கை வரலாற்றை அலசுவதே இத் தொடர் 

  

   ஸ்ரீனிவாச ராமானுஜன் 1887 டிசம்பர் 22 இல் தமிழ்நாட்டிலுள்ள ஈரோட்டில் பிறந்தார் .வளர்ந்ததும் படித்ததும் கும்பகோணத்தில் தந்தையார் பெயர் கும்பகோணம் ஸ்ரீனிவாசயங்க்கார் , தாயார் ஈரோடு கோமளத்தம்மாள் . மிகவும் வறுமையான பிராமணக் குடும்பம் .
   இவரது அபாரக் கணிதத்திறன் சிறு வயதிலேயே வெளிப்பட்டது . சிறுவயதிலேயே யாருடைய உதவியும் இல்லாமல் கணிதத்தின் மிக அடிப்படையான ஆழ் உண்மைகளைக் கண்டுணர்ந்தார் . 7 வது வயதில் உதவி நிதி பெற்று கும்பகோணம் உயர்நிலைப் பள்ளிக்குச் சென்றார் ராமனுஜன் .
   10 வது வயதில் அவருக்கு S.L.Loney ஆல் எழுதப்பட்ட advanced trigonometry நூல் வழங்கப்பட்டது . அவற்றைத் தானே சுயமாகக் கற்றுத் தேர்ச்சி அடைந்தார் . 12 ம் வயதில் Sum and Products of Infinity Sequences பற்றிய விளக்கத்தை அறிந்தார் இது அவரது பிற்காலக் கண்டுபிடிப்புகளுக்கு பெரிதும் பயன்பட்டது . அத்துடன் அப்போதே பல தேற்றங்களையும் கண்டுபிடிக்கத் தொடங்கினார் . இதில் Euler identity தொடர்பான மறு கண்டுபிடிப்பு முக்கியமானது . இதன் மூலம் தனது அசாதாரண கணித ஆற்றலை பாடசாலையில் நிரூபித்து பல விருதுகளும் வென்றார் .
    தனது 15 வது வயதில் கேம்பிரிட்ஜ் பல்கலைக்கழக கணித வல்லுநர் G.S.Carr தொகுத்த " Synopsis of Elementary Results in Pure Mathematics " என்னும் நூலை இரவல் வாங்கி சுமார் 6000 கணித தேற்றங்களை ஆழ்ந்து கற்றுக் கொண்டார் இங்கு குறிப்பிடப்பட்ட S.L.Loney ஆல் எழுதப்பட்ட , மற்றும் G.S.Carr இனால் தொகுக்கப்பட்ட இரண்டு நூல்களும் தான் ராமானுஜன் முழுமையாகக் கற்றுக் கொண்டவை .
    இதன் பின் 1903 இல் தனது 16 ம் வயதில் பெற்றுக்கொண்ட புலமைப்பரிசில் மூலம் கும்பகோணம் அரசினர் கல்லூரியில் சேர்க்கப்பட்டார் பின் 17 வது வயதில் Bernoulli numbers மற்றும் Euler-Mascheroni constant தொடர்பாக தனது சொந்த கணித ஆராய்ச்சிகளை மேற்கொண்டார் . ஆனாலும் அவர் மனது கணிதத்திலேயே மூழ்கிவிட்டதால் எஞ்சிய பாடங்களில் கவனம் செலுத்த முடியவில்லை . விளைவு ; கல்லூரித் தேர்வில் கோட்டை விட்டார் . பின் நான்கு வருடம் கழித்து சேர்ந்த சென்னைக் கல்லூரியிலும் தேர்வில் தோல்வியடைந்தார் !
பின் 1909 இல் திருமணம் செய்து கொண்ட ராமானுஜன் வறுமையின் கோரப்பிடியினால் தன் கணிதப் பித்தை தற்காலிகமாக ஒதுக்கி வைத்து விட்டு சென்னையில் வேலை தேடத் தொடங்கினார் . கணிதத்தை ஆதரிக்கும் செல்வந்தரான ஆர். ராமச்சந்திரராவ் ; கணித வல்லுநர் பலரது சிபார்சினால் 1910 இல் ராமானுஜனுக்கு கணிதத் துறையில் பணிபுரிய ,ஓரளவு தொகையை உபசாரச் சம்பளமாக மாதாமாதம் அளிக்க முன்வந்தார் . 1911 இல் ராமானுஜத்தின் முதல் பதிவு கணிதப் படைப்புகள், இந்திய கணிதக் குழுமத்தின் வெளியீட்டில் [ Journal of tha Indian Mathematical Society ] வெளிவந்தன . மேலும் தனியாக வேலை செய்ய விரும்பி சென்னைத் துறைமுக நிறுவனத்தில் 1912 இல் ராமானுஜம் 'கிளார்க்' வேலையில் சேர்ந்த்தார் அதன் பின் தான் அவர் வாழ்வில் ஒரு பெரிய திருப்புமுனை ஏற்பட்டது .




    ஆம்; ராமானுஜன் 'கிளார்க்' வேலையில் இருந்தபோதும் அவரது கணித ஆராய்ச்சிகள் தொடர்ந்து நிகழ்ந்த வண்ணமே இருந்தன . இதன் விளைவாக; துறைமுக அலுவலகத்தில் ஒரு 'கிளார்க்' கணிதத்தில் சாதனைகள் புரிந்து வருகிறார் என்ற செய்தி பரவலாக சென்னை கல்விக்கூடங்களில் பேசப்படத் தொடங்கியிருந்தது . இதன் தொடர்ச்சியாக இந்திய கணிதக் கழகத்தின் நிறுவுனரான பேராசிரியர் வி. ராமஸ்வாமி ஐயரும் , அவரால் ராமானுஜனுக்கு அறிமுகமான பேராசிரியர் சேஷு ஐயரும் , சென்னைத் துறைமுக அலுவலகத்தின் தலைவரான ஸர் பிரான்ஸிஸ் ஸ்பிரிங் அவர்களும் ராமானுஜனின் கணித ஆற்றலைப் பாராட்டி அவரது கணிதப் படைப்புக்களை இங்கிலாந்தில் இருந்த மூன்று முக்கிய பிரிட்டிஷ் கணித வல்லுனர்களுக்கு அனுப்பித் தொடர்புகொள்ள ஊக்கம் அளித்தார்கள் . அவர்களில் இருவர் பதில் போடவில்லை . ஒருவர் மட்டும் பதில் அனுப்பினார் அவர் தான் அக்காலத்தில் புகழ்பெற்ற பிரிட்டிஷ் கணித நிபுணர் ; G.H.ஹார்டி !!  { மற்றைய இருவர் E.W.Hobson , H.F.Baker }

                                                            கணித நிபுணர்  G.H. ஹார்டி

    ராமானுஜனின் கத்தையான கடிதக்கட்டு ஹார்டியின் கையில் கிடைத்தது 1913 ஜனவரி 16 ம் திகதி ! முதலில் மேலோட்டமாகப் பார்வையிட்டு விட்டு ஏதோவொரு பைத்தியம் எழுதியதாக எண்ணிக் கடிதக்கட்டை ஒதுக்கி வைத்தார் ஹார்டி. ஏனெனில் ராமானுஜன் அனுப்பிய தேற்றங்கள் எவைக்கும் நிறுவல்கள் அனுப்பப்படவில்லை ! இரவு உணவின் பின்னர் அவரும் , அவரது நெருங்கிய கணித ஞானியான ஜான் லிட்டில்வுட்டும் இணைந்து புதிர்களைப்போல் இருந்த ராமானுஜனின் நூதனமான 120 கணித இணைப்பாடுகளையும் கணித தேற்றங்களையும் மெதுவாகப் புரட்டிப் பார்த்து பொறுமையாக ஆழ்ந்து படித்தார்கள் . 
                                      
                                                       ராமானுஜனின் note book இன் ஒரு பகுதி  


       அதில் பல தேற்றங்கள் அவர்களுக்குப் புதிராகவே இருந்தன . ஓரிரண்டு தவறான தேற்றங்களும் இருந்தன புதிதாக இருந்தவற்றுக்கு நிறுவல்கள் கொடுக்கப்படாமல் இருந்ததால் அவர்களே அவைகளை நிறுவப்பார்த்தார்கள் . சிலவற்றை அவர்களால் நிறுவ முடிந்தது . சிலவற்றிற்கு நிறுவலுக்காக என்ன செய்ய வேண்டும் என்பதை அவர்களால் ஊகிக்க முடிந்தது . ஆனால் பல தேற்றங்களை அவர்களால் அணுகவே முடியவில்லை ! ஆனாலும் அதற்காக அவைகளை ஏதோ பிதற்றல் என்று ஒதுக்கவும் முடியவில்லை . உலகத்திலேயே எண் கோட்பாட்டில் பிரமாணமாக எடுத்துக் கொள்ளப்படுபவர்களான அவர்களாலேயே அத் தேற்றங்களின் உண்மையைப்பற்றி ஒன்றுமே சொல்ல முடியாத நிலையில் ; பிரமித்துப்போன இரு வல்லுனர்களும் ஒரு முடிவிற்கு வந்தனர் . தாம் காண்பது ஒரு மகா மேதையின் உன்னத கணிதப்படைப்புகள் !;அவை ஒரு பைத்தியக்காரனின் கிறுக்கல்கள் அல்ல என்று !! இருவரும் அன்றே தீர்மானித்து விட்டனர் ; ராமானுஜனை கேம்பிரிட்ஜுக்குக் கொண்டுவர வேண்டும் என்று !அத் தீர்மானம் கணிதத்தில் வரலாறு படைத்த தீர்மானம் !!
      ஹார்டி உடனே ராமானுஜனைக் கேம்பிரிட்ஜுக்கு வரும்படி கடிதம் எழுதிய போதும் ;சென்னைப் பல்கலைக்கழகமும் [ University of Madras ] இங்கிலாந்து கேம்பிரிட்ஜ் , Trinity கல்லூரியும் அவருக்கு உதவி நிதி வழங்க முன்வந்த போதும் ; ராமானுஜனால் உடனே நாடு விட்டு நாடுபோக முடியவில்லை !! 



    ராமானுஜன் பிராமண குடும்பத்தைச் சேர்ந்தவர் என்று முன்பே கூறியிருந்தேன், அதுதான் அவருக்குத் தடையாக இருந்தது. அக் காலத்திலே, பிராமணர்கள் கடலைத் தாண்டிச் செல்வதென்பது மாபெரும் பாவமாகக் கருதப்பட்டது. பழமையான பண்புகளில் ஊறியிருந்த அவரது தாயார், அவரது பயணத்தைக் கடுமையாக எதிர்த்தார். சுமார் ஒரு வருடமாக இங்கிலாந்துக்குச் செல்வதா, வேண்டாமா என்று பெரும் மனப் போராட்டம் நடத்தினார் ராமானுஜன். தனக்குக் கிடைத்த அரிய சந்தர்ப்பத்தை அவரால் இலகுவாக உதறித்தள்ளிவிட முடியவில்லை. 

      இறுதியாக 1914ம் ஆண்டு மார்ச் மாதம் 17ம் திகதி தன் தாயின் பலத்த எதிர்ப்பைப்புறந்தள்ளி இங்கிலாந்து செல்லக் கப்பலேறினார் ராமானுஜன். ஆனாலும் தன் தாயிடம் 'எக்காரணம் கொண்டும் மாமிசம் புசிக்க மாட்டேன்' என்ற உத்தரவாதத்தையும் வழங்கிவிட்டே கப்பலேறினார். அவர் ஏப்ரல் 14ந் தேதி லண்டனை அடைந்தார். அங்கே E.H.Neville தன் காருடன் காத்திருந்தார். நான்கு நாட்களின் பின்னர் கேம்பிரிட்ஜில் உள்ள E.H.Neville யின் வீட்டை அடைந்த ராமானுஜன் உடனடியாகவே ஹார்டியுடன் இணைந்து தன் பணியைத் தொடங்கினார். 6 வாரங்களின் பின்னர் Neville யின் வீட்டிலிருந்து வெளியேறிஹார்டியின் room இற்கு அருகிலேயே room எடுத்து தங்கினார் ராமானுஜன்.
                                                              ஹார்டி-ராமானுஜன்

   அவர் கேம்பிரிட்ஜில் ஹார்டியுடன் பணியாற்றிய அடுத்த நான்கு ஆண்டுகளும் (1914-1918) கணித உலகுக்குப் பொன்னான ஆண்டுகள்தான். ஹார்டியின் சீரிய பொறிநுணுக்கமும் ராமானுஜனின் நூதன கணித ஞானமும் இரண்டறக்கலந்து சுமார் 3000 இற்கும் மேற்பட்ட கணிதத் தேற்றங்கள் உருவாகின. இருவரும் Arithmatic Functions பலவற்றை ஆங்கில, ஐரோப்பிய விஞ்ஞானப் பதிவுகளில் வெளியிட்டார்கள். [ 27 ஆய்வுக் கட்டுரைகள் ராமானுஜனால் வெளியிடப்பட்டன, அவற்றில் 7 கட்டுரைகள் ஹார்டியுடன் கூட்டாக எழுதியவை ] அவர்கள் வெளியிட்டவற்றில் Riemann Series, Elliptical Integrals, HyperGeometric Series, Fuctional Equations of Zeta Functions மற்றும் ராமானுஜன் தனியாக ஆக்கியDivergent Series ஆகியவை கணிதத்துறையில் குறிப்பிடத்தக்கவை.
ராமானுஜனைப் பொறுத்தவரை எண்கள்தான் அவர் உலகம். எண்களுடன் விளையாடிக் கொண்டிருப்பதே அவரது பொழுதுபோக்கு. ஒரு சந்தர்ப்பத்தில் ஹார்டியும் ராமானுஜனும் உரையாடும் போது, ஹார்டி; தான் வந்த taxi இலக்கமான 1729 என்பது சுவாரஸ்யமற்ற/சாதகமற்ற இலக்கம் என்றும் 
அந்த டாக்ஸியில் தான் அலைக்கழிந்ததாகவும் கூறினார். உடனே குறுக்கிட்ட ராமானுஜன், இல்லை அவ்வெண் சுவாரஸ்யமானது என்று கூறி, அவ்வெண்ணை இரு வெவ்வேறு வழிகளில் இரு கனங்களின் கூட்டுத்தொகையாக எழுதலாமென்றார் !! ஒரு இலக்கத்தைக் கூறியவுடனேயே அந்த இலக்கத்தைப் பற்றி விலாவாரியாக விளக்குமளவுக்கு ராமானுஜனுக்கு எண்களிடம்  பரிச்சயம் இருந்தது. இவர்களது நினைவாக 1729 என்ற இலக்கமே Hardy–Ramanujan number என்றே இன்று அழைக்கப்படுகின்றது.
     எண்களின் பண்புகளைப் பற்றிய number theory இலும் complex number இலும் இவர் கண்டுபிடித்துக் கூறிய ஆழ் உண்மைகள் இன்று அடிப்படை இயற்பியல்துறை முதல் கணனித் துறையின் உயர்மட்டம் வரை பயன்படுத்தப்பட்டு வருகின்றது.

{

உண்மையில் ராமானுஜனின் படைப்பாற்றல் அபரிமிதமான வேகத்தைக் கொண்டிருந்தது. இது பற்றி பின்னாட்களில் ராமானுஜனின் திடீர் மறைவுக்குப் பின்னர் ஹார்டி குறிப்பிடும் போது; 'இங்கு வருவதற்கு முன்னால் அவர் என்ன புத்தகம் படித்திருந்தார், இன்னென்ன புத்தகங்களைப் படித்திருந்தாரா,இல்லையா என்பதை என்னால் சொல்ல முடியவில்லை. நான் கேட்டிருந்தால் ஒரு வேளை சொல்லியிருப்பாரோ,என்னமோ. ஆனால், ஒவ்வொரு நாளும் நான் அவருக்குக் காலை வணக்கம் சொல்லும் போதும் அவர் எனக்கு ஐந்தாறு புதுத் தேற்றங்களைக் காட்ட ஆயத்தமாயிருந்ததால், எனக்கு வேறு எதையுமே பேச வாய்ப்புமில்லை. அத்துடன் ராமானுஜனைப் பார்த்து அதைப் படித்திருக்கிறாயா,இதைப் படித்திருக்கிறாயா? என்று கேட்பதும் பொருத்தமில்லாததாக இருந்தது.' என்கிறார்.
ஹார்டி கூறியது உண்மை தான்.... எந்தக் கணித வல்லுனருடன் ஒப்பிட்டாலும் ராமானுஜனைப் 'படிக்காதவர்' என்று தான் கூற வேண்டும். தன்னால்; தனக்குத்தானே கற்பித்துக் கொண்ட மேதை அவர். அவரது கணித அறிவுமுறைசாராததாக இருந்தது. 18 ,19 வது நூற்றாண்டுகளில் அடுக்கு,அடுக்காக உலகை மேவிய கணிதம் யாவும் அவர் வழியில் தட்டுப்படாமலே/அவற்றைக் கற்காமலே அவரால் உலகிலுள்ள அத்தனை கணிதவியலாளர்களுக்கும் புதிதாகச் சொல்வதற்கு எவ்வளவோ இருந்தது.
20 ம் நூற்றாண்டில் ஒரு விண்மீன் போல அவர் திடீரென்று தோன்றியதும், உலகில் அப்பொழுது மேன்மையானதென்று புகழ் பெற்றிருந்த பல பல்கலைக் கழகங்களில் முறைப்படி அவருடைய ஆராய்ச்சிக் கட்டுரைகள், கருத்துக்கள் அரங்கேறியதும் ஒரு சுவையான பரபரப்புக் கணித வரலாறு.
பின்னாட்களில் ஒருமுறை ராமானுஜனின் கணித மேன்மையை இலக்க ரீதியில் ஒப்பிட்டு ஹார்டி கூறுகையில்; ராமானுஜனின் திறனுக்கு மதிப்பு 100 அளித்தால்,அப்போதைய ஜெர்மன் மகா கணித மேதை David Hilber இற்கு 80லிட்டில்வுட்டுக்கு 30,தனக்கு 25 மட்டுமே.

ராமானுஜனின் கணித தேற்றங்கள், அவற்றின் விளைவுகள், அவரது கணிதக் கூட்டுழைப்பு, யாவும் தன் வாழ்க்கையில் நிகழ்ந்த ஓரினிய கவர்ச்சிச் சம்பவமாக எண்ணி ஹார்டி களிப்படைக்கின்றார்.
ராமானுஜனுக்கு Cauchy தேற்றம், Doubly Periodic Functions போன்ற மற்ற கணிதத் துறை அறிவில் எந்தவித ஞானமும் இல்லை!! “இவற்றை எப்படி அவருக்குக் கற்றுக் கொடுப்பது” என்று மலைப்படைந்தார் ஹார்டி! ஆனாலும் அவற்றில் சிலவற்றை தன்னால் முடிந்தவரை ஹார்டி கற்றுக் கொடுத்தார்.
இது பற்றி ஹார்டி குறிப்பிடும் போது “நான் அவருக்குத் தெரியவேண்டியவை என்று சொல்லிக் கற்றுக் கொடுத்தது சரி தானா என்று தெரியவில்லை. ஏனென்றால் நான் சொல்லிக் கொடுத்ததால் அவருடைய மேதை பரிமளிப்பதைத் தடை செய்திருக்கவும் கூடுமல்லவா? ஒருவேளை நான் அவருக்குச் சொல்லிக் கொடுத்தது தான் சரி என்று வைத்துக் கொண்டாலும், ஒன்று மாத்திரம் உண்மை. அவர் என்னிடமிருந்து கற்றதைவிட நான் அவரிடமிருந்து கற்றது தான் அதிகம்” என்கிறார்.

1918 ம் ஆண்டில் ராமானுஜன் லண்டன் F.R.S விருதையும் டிரினிட்டி கல்லூரியின் Fellowof Trinity College விருதையும் ஒன்றாகப் பெற்றுப் புகழடைந்தார். அரும் பெரும் இவ் இரு கௌரவப் பட்டங்களையும் முதன்முதல் முப்பது வயதில் வாங்கிய முதல் இந்தியர் ராமானுஜன் தான்!
அவரது சீரும் சிறப்பும் உன்னதம் அடைந்து மேல்நோக்கிப் போகையில் அவரது உடல் ஆரோக்கியம் அவரைக் கீழ் நோக்கித் தள்ளியது! வேனிற் காலநிலைப் பூமியில் வாழ்ந்த ராமானுஜனுக்கு, ஈரம் நிரம்பிய குளிர்ச்சித் தனமான இங்கிலாந்துக் காலநிலை உடற்கேட்டைத் தந்தது. முதலாம் உலக யுத்தத்தின் நடுவே இங்கிலாந்து கடுமையான நெருக்கடியைச் சந்தித்துக் கொண்டிருந்த சூழலில் காய்கறிகளுக்குப் பெரும் தட்டுப்பாடு நிலவி வந்த பின்னணியில் காய்கறி உணவை மட்டுமே நம்பி அதையும் கட்டுப்பாட்டோடு உண்டு வந்ததால் அதுவும் அவரது உடல்ப் பலவீனத்தை அதிகமாக்கியது.
ராமானுஜனைப் பயங்கரக் காச நோய் பீடித்து வீரியத்தோடு தாக்கியது. அந்தக் காலத்தில் இங்கிலாந்தில் கூட காச நோயிற்குப் போதிய மருந்தில்லை. இங்கிலாந்துக்குச் சென்ற சிறிது காலத்திலிருந்தே அவர் இப் பிரச்சனையால் துன்பப்பட்டு வந்தார். அவரது பெரும்பாலான நாட்கள் மருத்துவ விடுதியிலேயே கழிந்தன. ஆனாலும் அவருடைய மனதில் ஓடிக் கொண்டிருந்த கணிதப் பிரச்சினைகளின் ஓட்டம் நிற்கவே இல்லை. அவரது கணிதப் படைப்புகள் பெருகிக் கொண்டேதான் இருந்தன.
1919 இல் போர் நின்று அமைதி நிலவிய போது நோய் முற்றி; இங்கிலாந்தில் வாழ முடியாதென முடிவுசெய்து இந்தியாவுக்குத் திரும்பினார். நோயின் உக்கிரம் கூட அவரது கணிதப் பணியை எள்ளளவும் குறைக்கவில்லை. உண்மையில் அவர் தனது நோயின் வலி நீக்கியாகவே கணிதத்தைப் பயன்படுத்தி வந்தார். அவர் கணித உலகில் சஞ்சரிக்கையில் அவரது வலிகள் யாவும் மறைந்து போவதாக ராமானுஜன் குறிப்பிடுகின்றார்.
இறுதியாக 1920 ஏப்ரல் 26ம் திகதி தனது 32 ம் வயதில்; கணிதமேதை ராமானுஜன் அவர்கள் இவ்வுலகை விட்டு விண்ணுலகு ஏகினார்!!
உயிர் நழுவிச் செல்லும் கடைசிவேளை வரை அவர் கணிதத் துறைக்குப் புத்துயிர் அளித்ததை அவரது குறிப்பு நூல்கள் காட்டுகின்றன. நோய் முற்றியிருந்த காலகட்டத்தில் மட்டும் சுமார் 600 புதிய தேற்றங்களைக் கண்டுபிடித்துள்ளார் ராமானுஜன்.
தற்காலத்தில் இவரது குறிப்பு நூல்களின் நகல்கள் சென்னைப் பல்கலைக்கழகம் உட்பட மூன்று அமைப்புகளின் ஒத்துழைப்பினால் பிரசுரிக்கப்பட்டுள்ளன. அத்துடன் கணித இதழ்களில் இவரது 32 ஆய்வுக் கட்டுரைகள் பிரசுரிக்கப்பட்டுள்ளன. மேலும் அமெரிக்காவின் Illiniois பல்கலைக்கழகத்தின் கணித வல்லுநர் Bruce.C.Berndt இனால் ராமானுஜனின் குறிப்பு நூல்கள் தொகுக்கப்பட்டு விரிவான விளக்கங்களுடன் 1985இலிருந்து 2005 வரையில் ஐந்து புத்தகங்களாக வெளிவந்திருக்கின்றன. அவற்றில் 3542தேற்றங்கள் இருக்கின்றனவென்றும் ஏறக்குறைய 2000 இற்கும் மேற்பட்ட தேற்றங்கள் அவர் வாழ்ந்த காலத்துக்கு முன்னால் கணித உலகுக்குத் தெரியாத தேற்றங்கள் தான் என்றும் கூறுகின்றார் Bruce.C.Berndt.
நிச்சயமாக ராமானுஜன் கற்றது கடுகளவு, கணித்தது உலகளவு என்று சொன்னால் அது அவருக்குச் சற்றும் மிகையாகாது!!!

கணித மேதை இராமானுஜரின் பிறந்தநாளையொட்டி கூகுல் இணணயதளம் அதன் முகப்பு பக்கத்தில் அவருக்கு மரியாதை செலுத்தி உள்ளது
(தேன் மதுரன்)
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Post Comment

Your Comments are Welcome

}